엔지니어 로드맵 #32 : 쿨롱의 법칙과 전기력

#32 — 쿨롱의 법칙과 전기력

쿨롱의 법칙: 전하 사이의 상호작용력

⚡ 쿨롱의 법칙(Coulomb's Law)은 두 전하 사이에 작용하는 전기력($F$)의 크기와 방향을 정량적으로 설명하는 기본 법칙입니다. 이 법칙은 전기력($F$)이 전하량에 비례하고, 거리($r$) 제곱에 반비례함을 보여줍니다.

목차

• 1. 쿨롱의 법칙이 필요한 이유
• 2. 쿨롱의 법칙: 정량적 수식
• 3. 쿨롱 상수($k$)와 유전율($\epsilon$)의 중요성
• 4. 전기력의 벡터 표현 및 중첩의 원리
• 5. 전기력과 중력의 비교

1. 쿨롱의 법칙이 필요한 이유

이전 글(#31)에서 전하는 같은 극끼리 척력(밀어내는 힘)이, 다른 극끼리 인력(끌어당기는 힘)이 작용한다는 것을 배웠습니다. 쿨롱의 법칙은 프랑스의 물리학자 샤를 드 쿨롱(Charles-Augustin de Coulomb)이 발견한 법칙으로, 이러한 힘의 크기가 얼마인지, 그리고 어떤 요소에 의해 결정되는지를 수학적으로 명확하게 규정합니다.

2. 쿨롱의 법칙: 정량적 수식

쿨롱의 법칙은 두 점전하 $Q_1$과 $Q_2$ 사이에 작용하는 전기력($F$)의 크기는 두 전하량의 곱에 비례하고, 두 전하 사이의 거리($r$) 제곱에 반비례함을 나타냅니다.

2.1. 쿨롱 법칙의 스칼라 형태

힘의 크기만을 나타내는 스칼라 형태는 다음과 같습니다. 힘의 단위는 뉴턴($N$)입니다.

$$F = k \frac{|Q_1 Q_2|}{r^2}$$ 여기서

• $F$: 두 전하 사이에 작용하는 전기력의 크기 [N]
• $Q_1, Q_2$: 두 전하의 크기 [C]
• $r$: 두 전하 사이의 거리 [m]
• $k$: 쿨롱 상수 (매질에 따라 달라짐)

3. 쿨롱 상수($k$)와 유전율($\epsilon$)의 중요성

쿨롱 상수($k$)는 두 전하 사이에 작용하는 힘의 크기를 결정하는 중요한 인자이며, 이 값은 두 전하를 둘러싼 매질(진공, 공기, 물, 절연유 등)의 특성에 따라 달라집니다.

3.1. 쿨롱 상수($k$)와 유전율($\epsilon$)의 관계

쿨롱 상수 $k$는 매질의 유전율($\epsilon$, Permittivity)의 역수에 비례하며, 다음과 같이 정의됩니다.

$$k = \frac{1}{4\pi\epsilon}$$ 따라서 쿨롱의 법칙은 유전율을 사용하여 다음과 같이 표현할 수도 있습니다. $$F = \frac{1}{4\pi\epsilon} \frac{|Q_1 Q_2|}{r^2}$$

3.2. 진공 유전율($\epsilon_0$)과 비유전율($\epsilon_r$)

• 진공 유전율($\epsilon_0$): 진공 상태에서의 유전율입니다. $\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \, [F/m]$. 이때 쿨롱 상수 $k_0 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \times 10^9 \, [N \cdot m^2/C^2]$ 입니다.
• 비유전율($\epsilon_r$): 특정 매질의 유전율($\epsilon$)과 진공 유전율($\epsilon_0$)의 비율입니다. $$\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}$$ 따라서 임의의 매질에서 전기력은 진공에서의 전기력보다 $\epsilon_r$배 작아집니다. ($\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$)

💡 유전율의 물리적 의미:
유전율($\epsilon$)이 크다는 것은 해당 매질이 전기적인 힘(전계)이 형성되는 것을 방해하는 능력이 크다는 것을 의미합니다. 물과 같은 유전율이 매우 큰 물질 내에서는 전기력의 크기가 크게 감소합니다.

4. 전기력의 벡터 표현 및 중첩의 원리

전기력($F$)은 방향을 가지는 벡터량이므로, 다수의 전하가 존재할 경우 힘의 합성은 벡터의 중첩 원리를 통해 계산해야 합니다.

💡 벡터로 힘을 나타내는 이유:
쿨롱 법칙의 스칼라 형태($F = k |Q_1 Q_2|/r^2$)는 힘의 크기만 알려줍니다. 하지만 힘은 항상 방향을 가지고, 여러 전하가 작용할 때 그 힘을 정확히 계산하려면 방향 정보(단위 벡터 $\vec{a}_r$)를 포함한 벡터($\vec{F}$)로 표현해야만 정확한 합력($\vec{F}_{\text{total}}$)을 구할 수 있습니다.

4.1. 쿨롱 법칙의 벡터 형태

전하 $Q_1$이 $Q_2$에 작용하는 힘 $\vec{F}_{12}$를 벡터로 표현하면 다음과 같습니다.

$$\vec{F}_{12} = \frac{1}{4\pi\epsilon} \frac{Q_1 Q_2}{r^2} \vec{a}_r$$ 여기서 $\vec{a}_r$은 $Q_1$에서 $Q_2$로 향하는 단위 벡터입니다. $Q_1$과 $Q_2$의 부호가 같으면 $\vec{F}_{12}$는 $Q_1$으로부터 멀어지는 척력(양수), 부호가 다르면 끌어당기는 인력(음수)이 됩니다.

4.2. 중첩의 원리

세 개 이상의 전하가 존재하는 경우, 특정 전하($Q_i$)가 받는 총 전기력은 나머지 모든 전하($Q_j, Q_k, ...$)에 의해 받는 개별적인 힘의 벡터 합과 같습니다.

$$\vec{F}_{\text{total}} = \sum_{j \neq i} \vec{F}_{ji}$$ 이는 복잡한 전하 분포 문제에서 실제 힘을 계산하기 위한 핵심 원리입니다.

5. 전기력과 중력의 비교

쿨롱의 법칙($F \propto 1/r^2$)은 뉴턴의 만유인력 법칙($F \propto 1/r^2$)과 형태가 매우 유사하지만, 다음과 같은 중요한 차이점이 있습니다.

• 종류: 중력은 항상 인력(끌어당기는 힘)만 존재하지만, 전기력은 인력 또는 척력 모두 존재합니다.
• 크기: 전기력은 중력에 비해 그 크기가 매우 강합니다. 예를 들어, 두 양성자 사이의 전기력은 중력보다 약 $10^{36}$배 더 큽니다.
• 매질의 영향: 중력은 매질의 영향을 받지 않지만, 전기력은 매질의 유전율($\epsilon$)에 따라 크기가 달라집니다.

🔜 다음 글 예고: #33 — 가우스 법칙과 전계 계산
쿨롱의 법칙은 점전하에 의한 힘을 다루기에 적합하지만, 복잡하고 연속적인 전하 분포에 의한 전계($E$)를 계산하는 데는 어려움이 있습니다. 다음 회차에서는 대칭성이 있는 전하 분포의 전계를 쉽게 계산하게 해주는 가우스 법칙을 심층적으로 다루겠습니다.